Diferenciálne rovnice s okrajovou podmienkou
V druhej časti venovanej diferenciálnym rovniciam sa budeme venovať úlohám, ktorých podmienky nie sú definované v jednom bode ale namiesto toho je úloha definovaná s okrajovými podmienkami.
Metóda streľby
Majme rovnicu N-tého rádu, kde \(n_1\) podmienok je zadaných na okraji \(a\) a \(n_2\) podmienok je zadaných na okraji \(b\), pričom platí \(n_1+n_2=N\). Úlohu riešime nasledovne. Odhadom zvolíme \(n_2\) podmienok na ľavom okraji \(a\) a riešime počiatočný problém s \(N\) počiatočnými podmienkami. Riešenia v bode \(b\) následne porovnáme s okrajovými podmienkami v bode \(b\) a nami zvolených \(n_2\) podmienok v bode \(a\) upravíme tak, aby sa riešenie trafilo do podmienok v bode \(b\). Úlohu sme teda previedli na riešenie sústavy \(n_2\) nelineárnych rovníc.
Vysvetlenie metódy streľby na príklade delostrelca, ktorý sa snaží zasiahnuť cieľ nájdete v pdf. Pozrite si video s implementáciou spomínaných metód od času 6:55 do 27:40 a využite k tomu skript.
Metóda sietí
Majme okrajové podmienky definované v bodoch \(a\) a \(b\). Medzi ne vložíme body \(x_1,..,x_N\), vztvoríme teda sieť (mriežku). Podstata metódy spočíva v nahradení derivácií konečnými diferenciami (dopredná diferencia, spätná diferencia, …) a prevedení diferenciálnej rovnice na sústavu algebraických rovníc pre hodnoty riešenia na bodoch siete. Nie každá aproximácia derivácie je pre konkrétnu ODR stabilná, viac sa dá dozvedieť na predmete diferenciálne rovnice na počíači.
POZOR, REKLAMA!
Riešením diferenciálnych rovníc pre účely laserovej a ultrarelativistickej plazmy, prúdenia tekutín, astrofyziky alebo inerciálnej fúzie sa detailne venuje štúdijný odbor počítačova fyzika.
Prevod Poissonovej rovnice na tridiagonálnu maticu nájdete v pdf. Vysvetlenie metódy a implementácia je vo videu.
Domáca úloha
Deadline na odovzdanie domácej úlohy je streda 12. Máj 2021 23:59:59. Konzultácie a odovzdanie úlohy cez chat v MS Teams. Zadanie dostanete takisto v MS Teams.
Comments